Conjectures on the enumeration of tableaux of bounded height

Le but de cette note est essentiellement de présenter des conjectures ainsi que des indications sur les raisons qui nous ont portées à énoncer ces conjectures. Les conjectures portent sur la forme explicite d’équations de récurrence que semble satisfaire la suite th(n), des nombres de tableaux de Young de hauteur bornée par h, ainsi que la suite t (2) h (n), des nombres de paires de tels tableaux ayant même forme (voir (2)). La forme des récurrences (1a et 2a) et certains aspects explicites des coefficients (1b, 1c, 1d, 2b, 2c, 2d et 2e) font l’objet de ces conjectures dans le cas général, et pour le cas h impair, on donne encore plus de détails (1e et 1f). Un résultat de Zeilberger [3] assure que de telles récurrences (voir (3)) existent mais sa démonstration ne semble pas permettre de déduire une forme explicite aussi précise que (4) ou (6). On montre aussi que le comportement asymptotique des solutions des recurrences obtenues par le biais de nos conjectures est compatible avec les résultats de Regev [2] sur le comportement asymptotique des nombres th(n).